什么是异方差？
定义：误差项的方差不是常数，即 Var(εᵢ) ≠ σ²（违反CLRM假设5）
后果：OLS仍无偏但不再有效（不是BLUE）；SE有偏 → t检验和F检验不可靠
常见场景：横截面数据，大企业vs小企业、高收入vs低收入
一、三大检验方法速查
Park Test
辅助回归：
ln(e²ᵢ) = α₀ + α₁ln(Zᵢ) + vᵢ
H₀：α₁ = 0（同方差）
H₁：α₁ ≠ 0（异方差）
检验：t检验 α₁
特点：需指定Z
White's Test
辅助回归：
e²ᵢ 对所有变量+平方+交叉
H₀：同方差
H₁：异方差
统计量：W = nR²_aux
分布：χ²(df)
Breusch-Pagan
辅助回归：
e²ᵢ 对所有原变量
H₀：同方差
H₁：异方差
统计量：BP = nR²_aux
分布：χ²(k)
⚠️ 所有异方差检验的H₀都是"同方差"！拒绝H₀ → 存在异方差。
二、Park Test 完整流程
1
估计原模型，获得残差 eᵢ
2
选择比例因子 Z（怀疑导致异方差的变量，如收入、规模）
3
做辅助回归：
ln(e²ᵢ) = α₀ + α₁·ln(Zᵢ) + vᵢ4
检验 H₀: α₁=0（同方差）vs H₁: α₁≠0（异方差）
5
若拒绝H₀ → 存在异方差，且异方差形式与Z相关
Park Test 的两个实际困难（Past Q2e 必考题！）
困难1：Z可能取0或负数 → 不能取对数
例如：BIDRS可能为0 → ln(0)不存在
困难2：选择哪个Z是主观的
没有客观标准决定哪个变量是比例因子 → 可能选错 → 漏检异方差
📝 真题 (Past Q2d)： 用Park检验，以BIDRS为比例因子
Model 3 输出：ln(e²)对ln(BIDRS)回归，t = −0.219, p = 0.827
→ α₁不显著 → 不能拒绝H₀ → 没有证据表明以BIDRS为比例因子的异方差
Model 3 输出：ln(e²)对ln(BIDRS)回归，t = −0.219, p = 0.827
→ α₁不显著 → 不能拒绝H₀ → 没有证据表明以BIDRS为比例因子的异方差
三、White's Test 完整流程
1
估计原模型，获得残差 eᵢ
2
构建辅助回归：e²ᵢ 对所有原变量 + 变量平方 + 交叉项
3
计算检验统计量：W = n × R²_aux
4
W ~ χ²(m)，其中 m = 辅助回归中解释变量个数（不含截距）
5
若 W > χ²_crit(m) → 拒绝H₀，存在异方差
如何计算自由度 m？
原模型有 k 个解释变量
辅助回归包含：k个原变量 + k个平方项 + C(k,2)个交叉项 = k(k+3)/2 个变量
所以自由度 m = k(k+3)/2
例：Model 1有3个变量(NEW, USED, BIDRS)，m = 3×6/2 = 9
📝 真题 (Past Q2f)： White's Test for Model 1
Gretl输出：Unadjusted R² = 0.019208，n=215
→ W = 215 × 0.019208 = 4.130
→ df = 3×6/2 = 9, α=5% 临界值 χ²(9) ≈ 16.92
→ 4.13 < 16.92 → 不能拒绝H₀ → 没有证据表明存在异方差
Gretl输出：Unadjusted R² = 0.019208，n=215
→ W = 215 × 0.019208 = 4.130
→ df = 3×6/2 = 9, α=5% 临界值 χ²(9) ≈ 16.92
→ 4.13 < 16.92 → 不能拒绝H₀ → 没有证据表明存在异方差
四、补救方法
| 方法 | 做法 | 使用场景 |
|---|---|---|
| White稳健标准误 | 不改变系数估计，只修正SE | 不确定异方差形式时（最常用！） |
| WLS (加权最小二乘) | 用 1/Zᵢ 作为权重重新估计 | 已知异方差形式（如知道Z是比例因子） |
| 变量变换 | 取log、标准化等 | 异方差源于变量尺度差异 |
💡 考试中常考：Mock Set 2 Q3中BP检验p=0.040<0.05 → 有异方差 → 建议使用Robust SE再确认推断。