Question 1 (35分) — 食品支出模型
模型：lnF = 15.50 + 1.02 lnY + 10.26H − 0.2H² − 2.21A
(0.31) (2.02) (0.45) (1.98)
R² = 0.45, n = 1055
F = 家庭食品支出, Y = 可支配收入, H = 家庭人数, A = 儿童数(16岁以下)
a. 解释 lnY 的系数 (5分)
lnY 系数 = 1.02。双对数模型中，系数即为弹性：
家庭可支配收入每增加 1%，食品支出平均增加 1.02%。
弹性 > 1 → 食品对该收入水平而言是奢侈品 (luxury good)。
b. 按预期方向检验 lnY 和 A 的假设 (10分)
对 lnY（预期正效应）：
H₀: β_lnY = 0 H₁: β_lnY > 0（右侧单侧）
α = 0.05, t_crit ≈ 1.645
t = 1.02/0.31 = 3.29 > 1.645 → 拒绝H₀
收入对食品支出有显著正影响 ✅
对 A（预期正效应，但系数为负！）：
H₀: β_A = 0 H₁: β_A > 0
t = −2.21/1.98 = −1.116。系数为负，方向与预期相反。
|t| = 1.116 < 1.645 → 不能拒绝H₀
无证据表明儿童数有正效应。符号异常暗示多重共线性（引出Q1c）。
c. VIF题 — 识别问题 (5分)
VIF_H = 15.53, VIF_A = 20.34 → 两者均 > 10
模型存在 严重的多重共线性 (multicollinearity)
d. 共线性的后果 (5分)
① 标准误膨胀 → t值变小 → 变量可能不显著
② 系数估计不稳定
③ 系数符号可能与预期相反
④ 但 OLS 仍无偏（这个要知道）
e. 两个补救方法 (10分)
方法1：删除一个高度相关变量（如删除H或A）
方法2：合并相关变量为一个综合指标（如：家庭综合规模 = αH + βA）或使用主成分分析(PCA)
Question 2 (20分) — iPhone定价模型
Model 1：Price = β₀ + β₁NEW + β₂USED + β₃BIDRS
Model 2：Price = β₀ + β₁NEW + β₂USED + β₃BIDRS + β₄PERCENT
基准组：as new (被省略的类别) | n = 215
a. 解释 Model 1 中 NEW 的系数 (5分)
NEW 系数 = 54.39 (p < 0.0001)
相比基准组"as new"，全新iPhone的售价平均高 $54.39，其他条件不变。
b. p-value法检验 PERCENT 的正效应，α=10% (5分)
H₀: β_PERCENT = 0 H₁: β_PERCENT > 0（预期正效应 → 右侧单侧）
Gretl 输出 PERCENT p-value = 0.1622（双侧）
单侧 p = 0.1622/2 = 0.0811 < 0.10
→ 拒绝H₀！在10%水平下，PERCENT有显著正影响。
⚠️ 如果用双侧p=0.1622直接比较0.10 → 就会错误地"不拒绝H₀"
c. 用两个准则判断 Model 1 vs Model 2 (10分)
| 准则 | Model 1 | Model 2 | 胜出 |
|---|---|---|---|
| R² | 0.4413 | 0.4465 | Model 2 |
| Adj-R² | 0.4333 | 0.4259 | Model 1 |
| AIC | 2078.4 | 2079.4 | Model 1 |
| SC | 2092.9 | 2096.3 | Model 1 |
结论：虽然R²略支持Model 2，但Adj-R²、AIC、SC均支持 Model 1。
Model 2额外加入的PERCENT不显著 → 是无关变量 → 推荐Model 1。
d. Park检验 — 以BIDRS为比例因子，α=10% (5分)
H₀: α₁=0（同方差） H₁: α₁≠0（异方差）
Model 3输出：ln(e²)对ln(BIDRS)，t = −0.219, p = 0.827
p >> 0.10 → 不能拒绝H₀
没有证据表明以BIDRS为比例因子的异方差存在。
e. Park检验的实际困难 (5分)
困难1：Z可能为0或负数，无法取ln(0)或ln(负数)
困难2：比例因子Z的选择是主观的——选错Z可能导致遗漏异方差
f. White's Test — 填写空白 (10分)
自由度：Model 1有3个解释变量 → df = 3×6/2 = 9
检验统计量：W = n×R²_aux = 215 × 0.019208 = 4.130
结论：4.13 < χ²_crit(9)≈16.92 → 不能拒绝H₀ → 没有证据表明存在异方差
Question 3 (25分) — 货币供给模型
模型：lnM1ₜ = β₁ + β₂ lnYₜ + β₃ lnPₜ + eₜ
M1 = 货币供给, Y = 名义GDP, P = 价格平减指数
季度数据 1990:1–2023:4, n=136, k=2
DW = 0.254, ρ̂ = 0.885
a. 解释 lnY 的系数 (5分)
lnY 系数 = 0.300
名义GDP每增加1%，货币供给M1平均增加0.30%（弹性0.30）。
b. DW检验一阶序列相关，α=5% (10分)
H₀: ρ=0（无一阶序列相关） H₁: ρ≠0
n=136, k'=2 → 查DW表：dL≈1.71, dU≈1.75（近似值）
d = 0.254 < 1.71 = dL
→ 拒绝H₀，存在显著的正序列相关
d≈0 → ρ≈1 → 强正自相关
c. BG检验四阶序列相关，α=1% (10分)
H₀: 无四阶序列相关 H₁: 存在四阶序列相关
BG辅助回归 R² = 0.763482, n=136, p=4
BG = n × R² = 136 × 0.763482 = 103.83
χ²_crit(4) at 1% ≈ 13.28
103.83 >> 13.28 → 拒绝H₀
存在显著的四阶序列相关（可能是季节效应——季度数据）